Работником нашей организации была самовольно вырублена береза. Что значит добровольное возмещение вреда – это прийти и сказать, что ты виновен и хочешь заплатить штраф за вырубленную березу?

Разумеется, нет. Протокол составляют уполномоченные лица. После выписки штрафа за административное правонарушение вы имеете возможность выбора между добровольной оплатой штрафа или принудительной в порядке судебного взыскания (ст.100 ЛК РФ).